Abgleich für m-param. Befehle


Ableiten
CATO: (Paket) Analysis I (auswählen) → Ableiten (auswählen)
CATO: (Paket) Funktionen, elementare → Ableiten (auswählen)

Maple, math. Toolbox, Mathematica, Maxima, MuPAD, Yacas
Mit diesem Befehl kann man die erste Ableitung einer Funktion in einer Veränderlichen bestimmen. Die erste Ableitung einer Funktion (bzw. das einmalige Differenzieren einer Funktion) beschreibt die Veränderung dieser Funktion in Abhängigkeit von der Variablen. Somit ist die Ableitung positiv, wenn die Funktionswerte mit wachsender Variablen zunehmen, und die Ableitung ist negativ, wenn die Funktionswerte mit wachsender Variablen abnehmen. Dadurch kann man dann auch (strenge) Monotonie überprüfen. Selbstverständlich kann Computeralgebra Produkte und Quotienten, sowie Verkettungen von Funktionen differenzieren. Natürlich kann man bei einem Ausdruck mit mehreren Unbekannten auch gezielt nach einer Unbekannten ableiten. Für höhere Ableitungen oder partielle Ableitungen gibt es eigenständige Befehle.
Dieser Befehl ist in einigen CA-Systemen auch listenfähig.
Außerdem ist dieser Befehl in CA-Systemen auch auf Funktionen mit komplexe Argumente anwendbar.
Der Befehl zum Ableiten befindet sich in dem Paket Funktionen, elementare sowie in dem Paket Analysis I .

BEISPIELE:
Bsp.: Es soll die Ableitung von   x3/(x-5)2 gebildet werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Ableiten. Es erscheint das Zusatzfenster „Ableiten” mit dem Hinweis „Eine Funktion wird einmal nach der Variablen abgeleitet!” und zwei Eingabezeilen:
   Funktion:                                             
   Variable:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
x^3/(x-5)^2
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3*x^2/(x-5)^2-2*x^3/(x-5)^3
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3*x^2/(x - 5)^2 - 2*x^3/(x - 5)^3
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
      2          3
   3 x        2 x
--------- - ---------
        2           3
(-5 + x)    (-5 + x)

Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
     2          3
  3 x        2 x
-------- - --------
       2          3
(x - 5)    (x - 5)

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3*x^2/(x - 5)^2 - 2*x^3/(x - 5)^3
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
((x-5)^2*3*x^2-x^3*2*(x-5))/(x-5)^4

Bsp.: Es soll die Ableitung von   a*g5 + c*g7 nach g bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO unter dem Ausgabefenster links im Paket Funktionen, elementare den Befehl Ableiten aus. Es erscheint das Zusatzfenster „Ableiten” mit dem Hinweis „Eine Funktion wird nach der Variablen abgeleitet!” und zwei Eingabezeilen:
   Funktion:                                             
   Variable:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
a*g^5+c*g^7
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
g
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
5*a*g^4+7*c*g^6
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
7*c*g^6 + 5*a*g^4
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
     4        6
5 a g  + 7 c g

Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
     6        4
7 c g  + 5 a g

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
5*a*g^4 + 7*c*g^6
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a*5*g^4+c*7*g^6

Bsp.: Es soll das Monotonieverhalten der Funktion   3*x2-2*x+2   untersucht werden. Dazu wählen wir in CATO links unter dem Ausgabefenster im Paket Funktionen, elementare den Befehl Ableiten. Es erscheint das Zusatzfenster „Ableiten” mit dem Hinweis „Eine Funktion wird nach der Variablen abgeleitet!” und zwei Eingabezeilen:
   Funktion:                                             
   Variable:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
3*x^2-2*x+2
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
6*x-2
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
6*x - 2
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-2 + 6 x
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
6 x - 2
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
6*x - 2
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
6*x-2
Konsequenz für die Monotonie: Wir können jetzt sofort rechnen -2+6*x=0, d.h. x=3 . Somit sehen wir, x=3 ist die einzige Nullstellen der ersten Ableitung. Somit ist es die einzige Stelle, in der sich das Monotonieverhalten der ursprünglichen Funktion verändern könnte. Bei dieser Funktion ist die erste Ableitung einfach; man sieht ohne CATO: für x<3 ist die erste Ableitung negativ, also ist die ursprüngliche Funktion streng monoton fallend; für x>3 ist die erste Ableitung positiv, also ist die Funktion streng monoton wachsend.

(letzte Änderung: 21.10.13)


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