deskriptive Statistik


Determinante
CATO: (Paket) Lineare Algebra (auswählen) → Determinante (auswählen)
gap, Maple, math. Toolbox, Mathematica, MATLAB, Maxima, MuPAD, Yacas
Mit diesem Befehl wird die Determinante einer Matrix bestimmt. Nur quadratische Matrizen, d.h. nur bei Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten übereinstimmen, haben eine Determinante. Der Betrag der Determinante einer n×n-Matrix ist das Volumen, das die n Spaltenvektoren bzw. die n Zeilenvektoren im n-dimensionalen Raum aufspannen. Somit kann es auch 0 sein, falls die n Vektoren linear abhängig sind. (Sie spannen dann etwas auf, das nicht so hochdimensional ist, z.B. die Vektoren (0,0,1,1), (1,1,0,0), (1,1,1,1), (2,2,4,4) spannen nur etwas Zweidimensionales auf!) Andererseits ist die Determinante auch das Produkt aller n Eigenwerte dieser Matrix. Die Determinate einer 2×2-Matrix läßt sich ganz einfach bestimmen, die Determinate einer 3×3-Matrix wird nach der Regel von Sarrus bestimmen. Für Matrizen mit mehr als drei Zeilen, bzw. Spalten benötigt man den Entwicklungssatz für Determinanten, man muß nämlich eine Summe von n! Produkten bilden. Natürlich kann auch die Determinante einer Wronskimatrix berechnet. Für den Befehl zur Berechnung der Determinante müssen Sie zuvor die Matrix definiert haben.
Auch läßt sich die Determinate für Matrizen mit komplexen Einträgen bestimmen.
Der Befehl Determinante befindet sich im Paket Lineare Algebra.

BEISPIELE:
Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA3, , die wir schon zuvor schon definiert haben, die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA3)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, konnten wir diese matrix nicht definieren.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22-a12*a21
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22 - a12*a21
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-(a12 a21) + a11 a22
MATLAB kann als Mathematik-Software nicht mit Unbekannten rechnen.
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11 a22 - a12 a21
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22 - a12*a21
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*(a22-(a12*a21)/a11)
Also: Die Determinante ist a11*a22 - a12*a21

Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA, , die wir schon zuvor schon definiert haben, die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4.0
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-4
Es ist das Produkt der Eigenwerte dieser Matrix.

Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA4, , die wir schon zuvor schon definiert haben,
die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA4)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, konnten wir diese matrix nicht definieren.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33-a11*a23*a32+a21*a32*a13-a21*a12*a33+a31*a12*a23-a31*a22*a13
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-(a13 a22 a31) + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + a11 a22 a33
MATLAB kann als Mathematik-Software nicht mit Unbekannten rechnen.
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*(a22-(a12*a21)/a11)*(a33-(a13*a31)/a11-((a23-(a13*a21)/a11)*(a32-(a12*a31)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11))
Man sieht bei allen Systemen die Regel von Sarrus:
a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33

Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA5, , die wir schon zuvor schon definiert haben,
die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA5)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12.0
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-12

Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA7, die wir schon zuvor schon definiert haben, , die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts danben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA7)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
(exp(1)^t)^2
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
exp(2*t)
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
  2 t
 E

In Mathematica bezeichnet E die Eulersche Zahl.
MATLAB kann als Mathematik-Software nicht mit Unbekannten rechnen.
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
  t      t     t        2 t
%e  (t %e  + %e ) - t %e

Um diesen Ausdruck besser zu verstehen, wählen wir in CATO links mittig im Paket Funktionen, elementare den Befehl Vereinfachen aus. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Vereinfachen(
Wir drücken auf der CATO-Oberfäche den Button Letzte Eingabe und schließen den Befehl, indem wir eingeben:
)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken. Wir erhalten als Antwort:
  2 t
%e

In Maxima bezeichnet   %e   die Eulersche Zahl e.
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
exp(1)^(2*t)
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Exp(1)^(2*t)

Bsp.: Es soll von folgender Matrix BspA6, , die wir schon zuvor schon definiert haben,
die Determinante bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Determinante. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Determinante(
Wir tippen jetzt ein:
BspA6)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, konnten wir diese matrix nicht definieren.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33*a44-a11*a22*a34*a43+a11*a32*a43*a24-a11*a32*a23*a44+a11*a42*a23*a34-a11*a42*a33*a24-a21*a12*a33*a44+a21*a12*a34*a43-a21*a32*a43*a14+a21*a32*a13*a44-a21*a42*a13*a34+a21*a42*a33*a14+a31*a12*a23*a44-a31*a12*a43*a24+a31*a22*a43*a14-a31*a22*a13*a44+a31*a42*a13*a24-a31*a42*a23*a14-a41*a12*a23*a34+a41*a12*a33*a24-a41*a22*a33*a14+a41*a22*a13*a34-a41*a32*a13*a24+a41*a32*a23*a14
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33*a44 - a11*a22*a34*a43 - a11*a23*a32*a44 + a11*a23*a34*a42 + a11*a24*a32*a43 - a11*a24*a33*a42 - a12*a21*a33*a44 + a12*a21*a34*a43 + a12*a23*a31*a44 - a12*a23*a34*a41 - a12*a24*a31*a43 + a12*a24*a33*a41 + a13*a21*a32*a44 - a13*a21*a34*a42 - a13*a22*a31*a44 + a13*a22*a34*a41 + a13*a24*a31*a42 - a13*a24*a32*a41 - a14*a21*a32*a43 + a14*a21*a33*a42 + a14*a22*a31*a43 - a14*a22*a33*a41 - a14*a23*a31*a42 + a14*a23*a32*a41
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort diese Summe von 24 Produkten:
a14 a23 a32 a41 - a13 a24 a32 a41 - a14 a22 a33 a41 + a12 a24 a33 a41 + a13 a22 a34 a41 - a12 a23 a34 a41 - a14 a23 a31 a42 + a13 a24 a31 a42 + a14 a21 a33 a42 - a11 a24 a33 a42 - a13 a21 a34 a42 + a11 a23 a34 a42 + a14 a22 a31 a43 - a12 a24 a31 a43 - a14 a21 a32 a43 + a11 a24 a32 a43 + a12 a21 a34 a43 - a11 a22 a34 a43 - a13 a22 a31 a44 + a12 a23 a31 a44 + a13 a21 a32 a44 - a11 a23 a32 a44 - a12 a21 a33 a44 + a11 a22 a33 a44
MATLAB kann als Mathematik-Software nicht mit Unbekannten rechnen.
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11 (a22 (a33 a44 - a34 a43) - a23 (a32 a44 - a34 a42)
+ a24 (a32 a43 - a33 a42)) - a12 (a21 (a33 a44 - a34 a43)
- a23 (a31 a44 - a34 a41) + a24 (a31 a43 - a33 a41))
+ a13 (a21 (a32 a44 - a34 a42) - a22 (a31 a44 - a34 a41)
+ a24 (a31 a42 - a32 a41)) - a14 (a21 (a32 a43 - a33 a42)
- a22 (a31 a43 - a33 a41) + a23 (a31 a42 - a32 a41))

Um diesen Ausdruck besser zu verstehen, wählen wir in CATO mittig im Paket Funktionen, elementare den Befehl Ausmultiplizieren aus. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Ausmultiplizieren(
Wir drücken auf der CATO-Oberfäche den Button Letzte Eingabe und schließen den Befehl, indem wir eingeben:
)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken. Wir erhalten als Antwort:
a11 a22 a33 a44 - a12 a21 a33 a44 - a11 a23 a32 a44 + a13 a21 a32 a44
+ a12 a23 a31 a44 - a13 a22 a31 a44 - a11 a22 a34 a43 + a12 a21 a34 a43
+ a11 a24 a32 a43 - a14 a21 a32 a43 - a12 a24 a31 a43 + a14 a22 a31 a43
+ a11 a23 a34 a42 - a13 a21 a34 a42 - a11 a24 a33 a42 + a14 a21 a33 a42
+ a13 a24 a31 a42 - a14 a23 a31 a42 - a12 a23 a34 a41 + a13 a22 a34 a41
+ a12 a24 a33 a41 - a14 a22 a33 a41 - a13 a24 a32 a41 + a14 a23 a32 a41

Wenn MUPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*a22*a33*a44 - a11*a22*a34*a43 - a11*a23*a32*a44 + a11*a23*a34*a42 + a11*a24*a32*a43 - a11*a24*a33*a42 - a12*a21*a33*a44 + a12*a21*a34*a43 + a12*a23*a31*a44 - a12*a23*a34*a41 - a12*a24*a31*a43 + a12*a24*a33*a41 + a13*a21*a32*a44 - a13*a21*a34*a42 - a13*a22*a31*a44 + a13*a22*a34*a41 + a13*a24*a31*a42 - a13*a24*a32*a41 - a14*a21*a32*a43 + a14*a21*a33*a42 + a14*a22*a31*a43 - a14*a22*a33*a41 - a14*a23*a31*a42 + a14*a23*a32*a41
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
a11*(a22-(a12*a21)/a11)*(a33-(a13*a31)/a11-((a23-(a13*a21)/a11)*(a32-(a12*a31)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11))*(a44-(a14*a41)/a11-((a24-(a14*a21)/a11)*(a42-(a12*a41)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11)-((a34-(a14*a31)/a11-((a24-(a14*a21)/a11)*(a32-(a12*a31)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11))*(a43-(a13*a41)/a11-((a23-(a13*a21)/a11)*(a42-(a12*a41)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11)))/(a33-(a13*a31)/a11-((a23-(a13*a21)/a11)*(a32-(a12*a31)/a11))/(a22-(a12*a21)/a11)))


(letzte Änderung: 10.06.16)


DGL, 1-ter Ord., AWP, exakt