Eigenvektoren


Eigenwerte
CATO: (Paket) Lineare Algebra (auswählen) → Eigenwerte (auswählen)
gap, Maple, math. Toolbox, Mathematica, MATLAB, Maxima, MuPAD, Yacas
Mit diesem Befehl werden die Eigenwerte einer quadratischen Matrix bestimmt. Ein (reeller oder auch komplexer) Eigenwert und der dazugehörige Eigenvektor werden dadurch definiert, daß das Produkt der Matrix mit dem Eigenvektor das Gleiche ergibt wie das Produkt aus Eigenwert mit Eigenvektor. Bei Matrizen mit reellen Einträgen lassen sich reelle Eigenwerte und reellen Eigenvektoren wie folgt interpretieren:
Man betrachtet die lineare Abbildung f: ℝn → ℝn, v → A · v ; mit A ∈ ℝn✕n , v ∈ ℝn. Die lineare Abbildung ist dann in der Richtung des jeweiligen Eigenvektores eine Dehnung oder Stauchung = nämlich „Eigenwert mal Eigenvektor”. Ist der Eigenwert vom Betrage her kleiner als 1, so wird bei der linearen Abbildung dieser zugehörige Eigenvektor gestaucht, ist er größer als 1, so wird bei der linearen Abbildung dieser zugehörige Vektor gedehnt. Für die Bestimmung der Eigenwerte müssen Sie zuvor die Matrix definiert haben. Die folgenden Beispiele behandeln die Fälle: es gibt einen reellen Eigenwert, einen komplexen Eigenwert und den dazu komplex konjugierten Eigenwert; es gibt nur reelle Eigenwerte; sowie den Fall eines doppelten Eigenwertes. Um die Beispiele nicht unnötig umfangreich zu gestalten, sind immer 3 × 3 - Matrizen ausgewählt worden.
Auch lassen sich die Eigenwerte von Matrizen mit komplezen Einträgen bestimmen.
Der Befehl Eigenwerte befindet sich im Paket Lineare Algebra.

BEISPIELE:
Bsp.: Es sollen von der Matrix  BspA  = , die wir schon zuvor schon definiert haben, die Eigenwerte bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Eigenwerte. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Eigenwerte(
Wir tippen jetzt ein:
BspA)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort nur den rationalen Eigenwert:
[ -2 ]
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
Vector[column](3,{(1) = -2, (2) = 2+2^(1/2), (3) = 2-2^(1/2)},datatype = anything,storage = rectangular,order = Fortran_order,shape = [])
Wir können erkennen, ein Eigenwert ist 2, ein Eigenwert ist 2+√2, ein Eigenwert ist 2-√2.
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
{-2, 2 - 2^(1/2), 2^(1/2) + 2}
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-2, 2 - Sqrt[2], 2 + Sqrt[2]}
In Mathematica bezeichnt Sqrt[.] die Quadratwurzel.
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
-2.0000000000000013 0.5857864376269055 3.414213562373096
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort zwei ineinandergeschachtelte Listen:
[[2 - sqrt(2), sqrt(2) + 2, - 2], [1, 1, 1]]
In Maxima bezeichnt sqrt(.) die Quadratwurzel. Außerdem lesen wir in der zweiten Liste,der Liste der Vielfachheiten dieser Eigenwerte, das jeder der drei zuvor aufgeführten Eigenwerte 1-fach vorkommt!
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-2, 2^(1/2) + 2, 2 - 2^(1/2)}
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-2,-(Sqrt(8)-4)/2,(Sqrt(8)+4)/2}

Bsp.: Es sollen von folgender Matrix  BspA2  = , die wir zuvor schon definiert haben, die Eigenwerte bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Eigenwerte. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Eigenwerte(
Wir tippen jetzt ein:
BspA2)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort nur den rationalen Eigenwert:
[ 3 ]
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
Vector[column](3,{(1) = 3, (2) = 1/2+3/2*I*7^(1/2), (3) = 1/2-3/2*I*7^(1/2)},datatype = anything,storage = rectangular,order = Fortran_order,shape = [])
In Maple bezeichnt I die Imaginäre Einheit.
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
{3, 1/2 - 7^(1/2)*3/2*I, 1/2 + 7^(1/2)*3/2*I}
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
    1 - 3 I Sqrt[7]  1 + 3 I Sqrt[7]
{3, ---------------, ---------------}
           2                2

In Mathematica bezeichnt I die Imaginäre Einheit und Sqrt[.] die Quadratwurzel.
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
0.4999999999999992 + (3.968626966596885)*I 0.4999999999999992 + (-3.968626966596885)*I 2.9999999999999996
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort zwei ineinandergeschachtelte Listen:
    3 sqrt(7) %i - 1  3 sqrt(7) %i + 1
[[- ----------------, ----------------, 3], [1, 1, 1]]
           2                 2

In Maxima bezeichnt %i die Imaginäre Einheit und sqrt(.) die Quadratwurzel. Außerdem gibt Maxima immer zu der Liste der Eigenwerte eine Liste der Vielfachheit dieser Eigenwerte aus! Wir lesen also in der Aufstellung [1,1,1], das jeder der drei zuvor aufgeführten Eigenwerte einfach vorkommt!
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{3, 1/2 - 3/2*I*7^(1/2), 3/2*I*7^(1/2) + 1/2}
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{3,Complex(1/2,-Sqrt(63/4)),Complex(1/2,Sqrt(63/4))}
Yacas stellt die komplexen Zahlen als Complex(Realteil,Imaginärteil) da.

Bsp.: Es sollen von folgender Matrix  BspA3 = , die wir schon zuvor schon definiert haben, die Eigenwerte bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Lineare Algebra aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Eigenwerte. Es erscheint im Eingabefenster von CATO der Text
Eigenwerte(
Wir tippen jetzt ein:
BspA3)
und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn GAP angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
[ 3, -1 ]
ohne Angabe der Vielfachheit.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
Vector[column](3,{(2) = -1, (3) = -1, (1) = 3},datatype = anything,storage = rectangular,order = Fortran_order,shape = [])
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
{-1, 3}
Um die Vielfachheit herauszufinden, müssen wir einen speiellen Befehl benutzen!
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-1, -1, 3}
Wir lesen ab, das -1 als Eigenwert zweimal vorkommt.
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
3.0 -1.0 -1.0
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
[[- 1, 3], [2, 1]]
Wir lesen ab: die Eigenwerte sind -1 und 3, wobei der erste die Vielfachheit 2 hat.
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-1, 3}
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort die drei Eigenwerte:
{-1,-1,3}


(letzte Änderung: 10.06.16)


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