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Folgen
CATO: verschiedene Befehle zur betrachtung von Folgen
Maple, math. Toolbox, Mathematica, MATLAB, Maxima, MuPAD, Yacas
Folgen sind Abbildungen von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, f : ℕ → ℝ, n → an , kurz (an)n.
Bsp.: an = 1/n   ; einige Werte: an ={ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... }
Bsp.: an = (-1)n * n    ; einige Werte: an = {-1, 2, -3, 4, -5, 6, .... }
Bsp.: an = (1+1/n)n ;    ; einige Werte: an = { 2, (3/2)2, (4/3)3, (5/4)4, ... }
Bsp.: Fibonacci- Folge: a1=1 , a2=1 , an = an-2 + an-1 für n >2 ; einige Werte: an = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... }

Um die Definition einer Folge zu verstehen, kann man einige Werte der Folge berechnen.

Man kann Folgen auf Beschränktheit untersuchen:
Def.: Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn es ein d ∈ ℝ gibt, mit an < d für alle n ∈ ℕ. Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es ein c ∈ ℝ gibt, mit an > c für alle n ∈ ℕ. Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Man kann Folgen auf Monotonie untersuchen:
Def.: Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn an ≤ am für n < m und n, m ∈ ℕ.
Eine Folge heißt streng monoton wachsend, wenn an < am für n < m und n, m ∈ ℕ.
Eine Folge heißt monoton fallend, wenn an ≥ am für n < m und n, m ∈ ℕ.
Eine Folge heißt streng monoton fallend, wenn an > am für n < m und n,m ∈ ℕ.

Man kann Folgen auf Konvergenz untersuchen:
Def.: Eine Folge heißt konvergent mit Grenzwert a, wenn für alle ε ∈ ℝ es ein nε ∈ ℕ gibt mit | a - an | < ε für alle n > nε , kurz   (an)→ a   oder    lim(an) = a. Falls eine Folge keinen Grenzwert hat, heißt sie divergent.
Anschaulich bedeutet Konvergenz Folgendes: Um den (mutmaßlichen ) Grenzwert a legen wir ein Intervall ( a - ε , a + ε ) , wobei wir das &epsilon beliebig klein gewählt haben. Trotzdem sind irgendwann alle Folgenglieder, deren Index genügend groß ist (, vielleicht nach dem 50000-ten oder dem 3000000-ten Folgenglied,) in diesem Intervall.

Falls eine Folge keinen Grenzwert hat, heißt sie divergent.
Für die Berechnung von unendlichen Reihen, bzw. die Bestimmung deren Grenzwerte gibt es einen eigenständigen Befehl.

Man kann auch die ersten Folgenglieder mit einer einfachen Schleife berechnen.

(letzte Änderung: 1.06.16)


Fourierreihe darstellen