Gradient, kartesisch


Grenzwert
CATO: (Paket) Analysis I (auswählen) → Grenzwert (auswählen)
CATO: (Paket) Funktionen, elementare (auswählen) → Grenzwert (auswählen)

Maple, math. Toolbox, Mathematica, MATLAB, Maxima, MuPAD
Damit wird der Grenzwert einer Funktion bestimmt. Selbstverständlich bestimmen CA-Systeme wie Maple, Mathematica, Maxima oder MuPAD auch die Grenzwerte, bei denen man klassisch die Regel von L'Hospital anwenden muß. Vgl. dazu auch die Befehle zur Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes und des linksseitigen Grenzwertes. Dieser Befehl zur Bestimmung vom Grenzwert befindet sich im Paket Analysis I, sowie im Paket Funktionen, elementare.

BEISPIELE:
Bsp.: Es soll der Grenzwert von  Sinus(x)/x  für x gegen 0 gebildet werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Grenzwert. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert” mit dem Hinweis „Der Grenzwert einer Funktion!” und drei Eingabezeilen:
  Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
Sinus(x)/x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und geben ein:
0
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1

Bsp.: Es soll der Grenzwert von  f(x) = (x2+2*x+1)/(x+1)  für x gegen -1 gebildet werden. Offenbar ist diese Funktion im Punkt -1 nicht definiert. Der Nenner hat dort eine Nullstelle. Aber der Zähler hat dort auch eine Nullstelle, demzufolge kann man durch (x+1) kürzen und somit diese Funktion stetig fortsetzen.
Jetzt wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Grenzwert. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert” mit dem Hinweis „Der Grenzwert einer Funktion!” und drei Eingabezeilen:
  Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(x^2+2*x+1)/(x+1)
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und geben ein:
-1
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0

Bsp.: Es soll der Grenzwert von  f(x) = Sinus(1/x) für x gegen 0 gebildet werden. Offenbar ist diese Funktion im Punkt 0 nicht definiert. Man kann aber zeigen, daß sie jeden Wert zwischen -1 und 1 als Funktionswert beliebig oft annimmt, wenn man mit x sich der o nähert.
Jetzt wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Grenzwert. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert” mit dem Hinweis „Der Grenzwert einer Funktion!” und drei Eingabezeilen:
  Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
Sinus(1/x)
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und geben ein:
0
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-1 .. 1
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir nach einiger Zeit als Antwort:
limit(sin(1/x), x = 0)
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Interval[{-1,1}]
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-1 .. 1
Anmerkung: Alle Zahlen aus dem Intervall [-1 , 1] sind Häufungspunkte. Vgl dazu die Ausgabe zur Folge   an = (-1)n + (-1/n)n 
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
ind
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
undefined

(letzte Änderung: 25.03.16)


Grenzwert, linksseitig