Grenzwert


Grenzwert, linksseitig
CATO: (Paket) Analysis I (auswählen) → Grenzwert, linksseitig (auswählen)
Maple, math. Toolbox, Mathematica, MATLAB, Maxima
Damit wird der Grenzwert einer Folge oder der linksseitige Grenzwert einer Funktion bestimmt. Es ist dabei irrelevant, ob man das Grenzwertverhalten gegen eine reelle Zahl oder gegen +∞ (bei Folgen) betrachtet. Selbstverständlich bestimmen CA-Systeme wie Maple, Mathematica, Maxima oder MuPAD auch die Grenzwerte, bei denen man klassisch die Regel von L'Hospital anwenden muß. Zu diesem Befehl vergleiche auch die Befehle zur Bestimmung des Grenzwerts und des rechtsseitigen Grenzwertes. Dieser Befehl zur Bestimmung vom linksseitigen Grenzwert befindet sich im Paket Analysis I, sowie im Paket Funktionen, elementare.

BEISPIELE:
Bsp.: Es soll der Grenzwert von e^x/x für x gegen unendlich gebildet werden. Dazu wählen wir in CATO links mittig unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts mittig in diesem Paket den Befehl Grenzwert,linksseitig. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert,linksseitig” mit dem Hinweis „Der linksseitige Grenzwert einer Funktion, Grenzwert einer Folge !” und drei Eingabezeilen:
  Folge, bzw. Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
e^x/x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
x
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und drücken ausf der CATO-Oberfläche mit der Maus die Taste und in der dritten Eingabezeile erscheint:
Unendlich
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
infinity
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Infinity
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Inf
In MATLAB bezeichnet Inf . Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
inf
Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
infinity

Bsp.: Es soll der Grenzwert der Folge   an = (1+1/n)n   bestimmt und damit ihre Konvergenz gezeigt werden. Dazu wählen wir in CATO links mittig unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts mittig in diesem Paket den Befehl Grenzwert,linksseitig. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert,linksseitig” mit dem Hinweis „Der linksseitige Grenzwert einer Funktion, Grenzwert einer Folge !” und drei Eingabezeilen:
  Folge, bzw. Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(1+1/n)^n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und drücken ausf der CATO-Oberfläche mit der Maus die Taste und in der dritten Eingabezeile erscheint:
Unendlich
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
exp(1)
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
%e
Mit  %e  wird von Maxima die Eulersche Zahl bezeichnet.

Bsp.: Es soll die Folge   an = (-1)n + (-1/n)n  auf konvergentes verhalten untersucht werden. Dazu wählen wir in CATO links mittig unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts mittig in diesem Paket den Befehl Grenzwert,linksseitig. Es erscheint das Zusatzfenster „Grenzwert,linksseitig” mit dem Hinweis „Der linksseitige Grenzwert einer Funktion, Grenzwert einer Folge !” und drei Eingabezeilen:
  Folge, bzw. Funktion                                            
   Variable:                                              
    gegen:                                              
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(-1)^n + (-1/n)^n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der ditten Eingabezeile und drücken ausf der CATO-Oberfläche mit der Maus die Taste und in der dritten Eingabezeile erscheint:
Unendlich
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn MATLAB angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
-1 .. 1
Nun, diese Folge hat zwei Häufungspunkte: -1 und 1. Vgl. dazu die Ausgabe für f(x) = sin(1/x), x gegen 0.
Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
und
In Maxima steht  und  für einen undefinierten Ausdruck. Somit hat diese Folge keinen Grenzwert.
(letzte Änderung: 5.10.10)


Grenzwert, rechtsseitig