reelle Zahl


Reihe, unendliche
CATO: (Paket) Analysis I (auswählen) → Reihe, unendliche (auswählen)
Maple, math. Toolbox, Mathematica, Maxima, MuPAD, Yacas
Eine unendliche Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Man erhält sie, wenn man die Folgenglieder einer Folge (an)n schrittweise immer weiter aufsummiert. So kann man die Folge (an)n = 1/n betrachten und erhält bei endlichem Aufsummieren

und dementsprechend beim unendlichem Aufsummieren:

Allgemein: Man hat eine Folge (an)n und summiert immer mehr Folgenglieder auf!
s1 = a1,   s2 = a1 + a2,   s3 = a1 + a2 + a3, ....   ,
Also formal : sm = = a1 + a2 + a3 + a4 + .... +am
Der Begriff unendliche Reihe bedeutet, daß man unendlich viele Summanden nimmt:
= a1 + a2 + a3 + a4 + .... +am + ...
Besondere unendliche Reihen sind die geometrische Reihe: für |q| < 1
und die harmonische Reihe:

Falls die jeweilige unendliche Reihe konvergiert, kann man mit diesem Befehl Reihe, unendliche den Grenzwert, bzw. den Wert der unendliche Reihe bestimmen.
Wichtig: Obwohl dieser Befehl im Gegensatz zur normalen Summation unendlich viele Summanden bewältigt, kann das angeschlossene CA-System, falls Sie bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: die Auswahl auf exakt gestellt haben, für die unendliche Reihen doch einen geschlossenen Ausdruck bestimmen.
Dieser Befehl zur Auswertung von unendlichen Reihen ist im Paket Analysis I.

BEISPIELE:
Bsp.: Es soll die geometrische Reihe für q = 1/3 , ,bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Reihe, unendliche. Es erscheint das Zusatzfenster „Reihe, unendliche” mit dem Hinweis „unendliche Reihe” und drei Eingabezeilen:
   über:                                             
   Laufindex =                                              
 Startwert:                                            
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(1/3)^n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der dritten Eingabezeile und geben ein:
0
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen das Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
3/2
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3/2
Wenn Mathematica angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3
-
2

Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3
-
2

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
3/2
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
1.5

Bsp.: Es soll die Summe gebildet werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Reihe, unendliche. Es erscheint das Zusatzfenster „Reihe, unendliche” mit dem Hinweis „unendliche Reihe” und drei Eingabezeilen:
   über:                                             
   Laufindex=                                              
  Startwert:                                            
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(-1)^n*(1/n)
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der dritten Eingabezeile und geben ein:
2
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken. Es sei bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: als numerisch ausgewählt.
Wenn Maple angeschlossen ist erhalten wir als Antwort:
.3068528194
Wenn math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0.30685281944005469058276787854182
Wenn Mathematica angeschlossen ist und bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: die Auswahl auf numerisch steht, erhalten wir als Antwort:
0.306853
Wenn Maxima 5.32.2 angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
inf
====       n
\     (- 1)
 >    ------
/       n
====
n = 2

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
0.3068528194
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Sum(n,2,Infinity,(-1)^n*1/n)
Anmerkung: Falls wir bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: die Auswahl auf exakt gestellt hätten,
wäre bei Maple die Antwort:
1-ln(2)
wäre bei der math. Toolbox die Antwort:
1 - ln(2)
wäre bei Mathematica die Antwort:
1 - Log[2]
Wäre bei MuPAD die Antwort gewesen:
1 - ln(2)
gewesen.

Bsp.: Es soll die Summe gebildet werden. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Reihe, unendliche. Es erscheint das Zusatzfenster „Reihe, unendliche” mit dem Hinweis „unendliche Reihe” und drei Eingabezeilen:
   über:                                             
   Laufindex=                                              
  Startwert:                                            
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen ein:
(-1)^n*
Dann wählen wir mittig in CATO im Paket Funktionen, elementare den Befehl Logarithmus naturalis aus. Dann steht in der ersten Eingabezeile
(-1)^n*Logarithmus naturalis(
und wir tippen weiter
n)/n
ein und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der dritten Eingabezeile und geben ein:
2
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist und bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: die Auswahl auf numerisch steht, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
.1598689037
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
sum((-1)^n/n*ln(n), n = 2..infinity)
Wenn Mathematica angeschlossen ist und bei CATO links neben dem Ausgabefenster unterhalb von Ausgabe: die Auswahl auf numerisch steht, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
0.159869
Der exakte Wert ist:
2 EulerGamma Log[2] - Log[2]
-----------------------------
              2

Wenn Maxima 5.32.2 angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
inf
====       n
\     (- 1)  log(n)
 >    -------------
/           n
====
n = 2

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
sum((-1)^n/n*ln(n), n = 2..infinity)


Bsp.: Es soll die harmonische Reihe berechnet werden. Wir wissen allerdings, das ihr Wert ∞ ist. Dazu wählen wir in CATO links unten unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts daneben in diesem Paket den Befehl Reihe, unendliche. Es erscheint das Zusatzfenster „Reihe, unendliche” mit dem Hinweis „unendliche Reihe” und drei Eingabezeilen:
   über:                                             
   Laufindex=                                              
  Startwert:                                            
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen:
1/n
ein und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der dritten Eingabezeile und geben ein:
1
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist erhalten wir als Antwort:
infinity
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
infinity
Wenn Mathematica 4.0 angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
ComplexInfinity
Wenn Maxima 5.28.0-2 angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
sum: sum is divergent.
 -- an error. To debug this try: debugmode(true);

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
infinity
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Sum(n,1,Infinity,1/n)

Bsp.: Es soll die allgemeine geometrische Reihe bestimmt werden. Dazu wählen wir in CATO links mittig unter Pakete zuerst das Paket Analysis I aus, dann rechts mittig in diesem Paket den Befehl Reihe, unendliche. Es erscheint das Zusatzfenster „Reihe, unendliche” mit dem Hinweis „unendliche Reihe” und drei Eingabezeilen:
   über:                                             
   Laufindex=                                              
  Startwert;                                            
Wir sind automatisch in der ersten Eingabezeile positioniert und tippen:
1/x^n
ein und betätigen weiter !. Danach sind wir in der zweiten Eingabezeile und geben ein:
n
und betätigen weiter !. Danach sind wir in der dritten Eingabezeile und geben ein:
0
Wir beenden die Eingabe mit weiter !, schließen des Fensters mit alle Eingaben abgeschlossen und können mit Auswerten den Befehl an CATO abschicken.
Wenn Maple angeschlossen ist erhalten wir als Antwort:
x/(-1+x)
Wenn die math. Toolbox angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
piecewise([(1 < abs(x) or x = 0) and x <> 1, x/(x - 1)], [not x in (0, 1) and abs(x) in (0, 1), x/(x - 1) + limit(-x/x^n/(x - 1), n = infinity)], [x in (0, 1] and abs(x) in (0, 1) or x = 1, infinity])
Wenn Mathematica 4.0 angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:, erhalten wir als Antwort:
  x
------
-1 + x

Wenn Maxima angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Is abs(x) - 1 positive, negative, or zero? Daraufhin tippen wir in das Eingabefenster von CATO
positive
und erhalten als Antwort:
  1
-----
    1
1 - -
    x

Wenn MuPAD angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
limit(-x/(x - 1)*(1/x)^n, n = infinity) + x/(x - 1)
Wenn Yacas angeschlossen ist, erhalten wir als Antwort:
Sum(n,0,Infinity,1/x^n)


(letzte Änderung: 14.12.14)


Rotation in x,y,z